円と直線の共有点の個数を求めるポイント：図形と方程式

2016/3/1 2016/3/5 図形と方程式, 数学, 数学Ⅱ

円と直線の、共有点の個数を求める問題です。
円の中心と直線の距離を求め、円の半径と比較します。

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共有点の個数を求める問題

円 $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ と直線 $y=x+a$ の共有点の個数を求めよ。

円と直線の共有点の場合の解法の手順

円の方程式を変形し、中心と半径を求めます。
円の中心と直線の距離を求めます。
円の中心と直線の距離と、円の半径の大小関係から場合分けをします。

共有点の個数を求める問題の解説

共有点の座標を求める必要がない場合は、円の半径と、円の中心と直線の距離を利用します。
まず、円の方程式を変形して中心と半径を求めます。
$x^2+y^2-2x+4y-4=0$ より

$(x-1)^2-1+(y+2)^2-4-4=0$

$(x-1)^2+(y+2)^2=3^2$

となるので、円の中心は $(1,-2)$ であり、半径は $3$ となります。
次に、円の中心 $(1,-2)$ と、直線 $y=x+a$ の距離を求めます。 $y=x+a$ は $x-y+a=0$ と変形できるので、点と直線の距離の公式から、中心と直線の距離は

$\dfrac{|1-(-2)+a|}{~\sqrt[]{\mathstrut (1^2+(-1)^2 )}}=\dfrac{|a+3|}{~\sqrt[]{\mathstrut 2}}$

と表せます。
中心と直線の距離と、中心と円周の距離である半径の大小関係によって
共有点の個数が変わるので、中心と直線の距離の値によって場合分けをします。
まず、中心と直線の距離が半径よりも小さい場合、直線が円の内側を通るので、共有点は2個となります。

このようになるのは

$\dfrac{|a+3|}{~\sqrt[]{\mathstrut 2}} <3$

$|a+3|<3~\sqrt[]{\mathstrut 2}$

$-3~\sqrt[]{\mathstrut 2}<a+3<3~\sqrt[]{\mathstrut 2}$

$-3-3~\sqrt[]{\mathstrut 2}<a<-3+3~\sqrt[]{\mathstrut 2}$

のときとなります。次に、中心と直線の距離が半径と等しい場合、直線は円と接するので、共有点は1個となります。

このようになるのは、

$\dfrac{|a+3|}{~\sqrt[]{\mathstrut 2}} =3$

$|a+3|=3~\sqrt[]{\mathstrut 2}$

$a+3=\pm 3~\sqrt[]{\mathstrut 2}$

$a=-3\pm 3~\sqrt[]{\mathstrut 2}$

のときとなります。最後に、中心と直線の距離が半径よりも大きい場合、直線は円の外側をとるので共有点は0個となります。

このようになるのは、

$\dfrac{|a+3|}{~\sqrt[]{\mathstrut 2}} >3$

$|a+3|>3~\sqrt[]{\mathstrut 2}$

$a+3<-3~\sqrt[]{\mathstrut 2},3~\sqrt[]{\mathstrut 2}<a+3$

$a<-3-3~\sqrt[]{\mathstrut 2},-3+3~\sqrt[]{\mathstrut 2}<a$

のときとなります。

以上より、共有点の個数は
(1) $-3-3~\sqrt[]{\mathstrut 2}<a<-3+3~\sqrt[]{\mathstrut 2}$ のとき2個
(2) $a=-3\pm 3~\sqrt[]{\mathstrut 2}$ のとき1個
(3) $a<-3-3~\sqrt[]{\mathstrut 2},-3+3~\sqrt[]{\mathstrut 2}<a$ のとき0個

参考

数学2教科書　数研出版

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