常用対数を利用して、小数の第何位に0でない数字現れるかを求める問題のポイント:対数関数

  • 小数や分数の累乗について、何桁目に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。
  • 小数首位を求めよ、という表現がされる場合もあります。
  • 位を求める数の常用対数をとり、その値を挟む2つの整数を利用して桁数を求めます。

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小数の第何位に0でない数字現れるかを求める問題

\left( \dfrac{1}{3}\right)^{26}を小数で表すと、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。
ただし、必要ならばlog_{10}3=0.4771として計算せよ。

《2014年度愛媛大学入試問題》

常用対数を利用する解法の手順

  1. 常用対数log_{10}\left( \dfrac{1}{3}\right)^{26} の値を求めます。
  2. -n \leqq log_{10}\left( \dfrac{1}{3}\right)^{26} <-n+1となる自然数nを求めます。
  3. 求められたnが初めて0でない数字が現れる桁となります。

小数の第何位に0でない数字現れるかを求める問題の解説

\left(\dfrac{1}{3}\right)^{26}を直接計算するのは難しいので、常用対数の値を求めます。
\left(\dfrac{1}{3}\right)^{26}の常用対数の値を求めると、

\[log_{10}\left( \dfrac{1}{3}\right)^{26}\]

\[={26} log_{10}\dfrac{1}{3}\]

\[=-{26} log_{10}3\]

\[=-{26}.4771\]

\[=-12.4046\]

となります。
次に、求めた常用対数の値を挟む自然数を求めると、
-13 \leqq -12.4046<-12となるので、

常用対数桁数

と変形できます。
{10}^{-13}は小数第13位に初めて0でない数字が現れる最小の数であり、
{10}^{-12}は小数第12位に初めて0でない数字が現れる最小の数なので
この2つの数の間に存在する\left( \dfrac{1}{3}\right)^{26}は小数第13位に初めて0でない数字が現れる数となります。

参考

チャート式 数研出版

引用

2014年度愛媛大学入試問題

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