組分けの総数(組を区別しない場合)を求める際のポイント:場合の数

  • 1つ1つの組自体は区別せずに組分けをする問題です。
  • 同じ人数(個数)を含む組がn組含まれるとき、組分けの方法は\dfrac{(区別するときの分け方)}{n!}となります。
  • 複数個ずつ同じ人数になる組がある場合はそれぞれ別に考えます。

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組分けの総数を求める問題

10人の生徒を3人、3人、2人、2人の4組に分ける方法は何通りあるか。

組を区別しない場合の解法の手順

  1. それぞれの組を区別する場合の分け方を求めます。
  2. 3人の組が2つと2人の組が2つあるので、区別する場合の分け方を2!\times 2!で割ります。

組分けの総数を求める問題の解説

まずは組を区別する場合の分け方を求めます。
10人を3人ずつの2組と2人ずつの2組に分けるので、その分け方は

\[~_{10}C_3 \times ~_7C_3 \times ~_4C_2 \times ~_2C_2\]

\[=\dfrac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}\times \dfrac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}\times \dfrac{4\times 3}{2\times 1}\times \dfrac{2\times 1}{2\times 1}\]

\[=120\times 35\times 6\times 1\]

となります。
ここで、組を区別しない場合、3人ずつの2組について2!個の同じ組み合わせができることになり、
同様に2人ずつの2組についても2!個ずつの同じ組み合わせができることになります。
よって、全体では同じ組み合わせになるものは2!\times 2!存在することになるので、
組を区別しない場合の組分けの総数は

\[\dfrac{120\times 35\times 6\times 1}{2!\times 2!}\]

\[=\dfrac{120\times 35\times 6\times 1}{4}\]

\[=6300\]

存在することになります。

参考

数学A教科書 数研出版

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