3次関数の最大値・最小値を利用して、不等式を証明するポイント：微分法

2016/3/4 2016/3/13 微分・積分, 数学, 数学Ⅱ

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3次関数の最大値・最小値を利用して、不等式を証明するポイント

3次関数に関する不等式を証明する問題です。
両辺の差を $f(x)$ と置き、微分を利用して値の変化を調べます。

3次関数に関する不等式を証明する問題

$x \geqq 0$ のとき、次の不等式が成り立つことを証明しなさい。

$2x^3+3x^2 \geqq 12x-7$

3次関数の不等式の証明の手順

$(左辺)－(右辺)$ を $f(x)$ と置き、微分して増減を調べます。
増減を元に、定義域内での $f(x)$ の最小値を求めます。
最小値を利用して $f(x)$ の不等式をつくります。
$f(x)$ の不等式を移項して、与えられた不等式が成り立つことを示します。

3次関数の不等式の証明の解説

3次以上の不等式を証明する場合、不等式の両辺の差を利用します。
両辺の差を求めると(左辺)－(右辺)は

$(2x^3+3x^2)-(12x-7)$

$=2x^3+3x^2-12x+7$

となるので、 $f(x)=2x^3+3x^2-12x+7$ と置きます。
$x \geqq 0$ の範囲で、 $f(x)$ の増減を調べると

$f' (x)=6x^2+6x-12$

$f' (x)=6(x^2+x-2)$

$f' (x)=6(x+2)(x-1)$

より $f' (x)=0$ が成り立つとき、 $x=-2,1$ であり、

$f(0)=13$

$f(1)=2+3-12+7=0$

なので $f(x)$ の増減は以下のようになります。

増減表

増減表より、 $x \geqq 0$ の範囲で $f(x)$ は $x=1$ のとき最小値 $0$ をとることが分かります。
これを不等式で表すと、 $x \geqq 0$ の範囲で $f(x) \geqq 0$ 、すなわち

$2x^3+3x^2-12x+7 \geqq 0$

が成り立ちます。元の不等式の右辺に含まれた項を移項することで
$2x^3+3x^2 \geqq 12x-7$ となり、与不等式が成り立つことが示されます。

参考

数学2教科書　数研出版

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