√（ルート）を含む掛け算・割り算の公式：数と式

√（ルート）を含む掛け算・割り算の公式

$a>0,b>0,k>0$ に対して

$\begin{eqnarray} &&I~~~\sqrt[]{\mathstrut a}~\sqrt[]{\mathstrut b}=~\sqrt[]{\mathstrut {ab}} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} &&I\hspace{-.1em}I~~~\dfrac{\sqrt[]{\mathstrut a}}{\sqrt[]{\mathstrut b}}=\sqrt[]{\mathstrut {\dfrac{a}{b}}} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} &&I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I~~~k~\sqrt[]{\mathstrut a}=~\sqrt[]{\mathstrut {k^2a}} \end{eqnarray}$

が成立します。

√（ルート）を含む掛け算・割り算の解説/ポイント

ルートの計算や二乗の計算をするときに最も注意しなければならないことはその符号です。
たとえば, T<0 のとき

$~\sqrt[]{\mathstrut T^2}=-T$

となります。
このように, 文字の計算をするときには特に注意が必要です。

I

$\begin{eqnarray} &&I~~~\sqrt[]{\mathstrut a}~\sqrt[]{\mathstrut b}=~\sqrt[]{\mathstrut {ab}} \end{eqnarray}$

右辺：ab の正の平方根です。
左辺： $(~\sqrt[]{\mathstrut a}~\sqrt[]{\mathstrut b})^2=(~\sqrt[]{\mathstrut a})^2(~\sqrt[]{\mathstrut a})^2=ab$ となるので, ab の平方根となっています。

また,

$~\sqrt[]{\mathstrut a}>0,~\sqrt[]{\mathstrut b}>0$

であるので,

$~\sqrt[]{\mathstrut a}~\sqrt[]{\mathstrut b}>0$

となります。
よって, この左辺のほうもab の正の平方根です。
つまり,

$\sqrt[]{\mathstrut a}~\sqrt[]{\mathstrut b}=~\sqrt[]{\mathstrut {ab}}$

が成立します。

Ⅱ

$\begin{eqnarray} &&I\hspace{-.1em}I~~~\dfrac{\sqrt[]{\mathstrut a}}{\sqrt[]{\mathstrut b}}=\sqrt[]{\mathstrut {\dfrac{a}{b}}} \end{eqnarray}$

右辺： $\dfrac{a}{b}$ の正の平方根です。
左辺： $\left( \dfrac{~\sqrt[]{\mathstrut a}}{~\sqrt[]{\mathstrut b}} \right)^2 = \dfrac{(~\sqrt[]{\mathstrut a})^2}{(~\sqrt[]{\mathstrut b})^2} = \dfrac{a}{b}$ となるので, $\dfrac{a}{b}$ の平方根となっています。