二次関数の頂点の求め方の公式（y=ax^2+bx+c ）：二次関数

2015/9/15 2016/3/5 二次関数, 数学, 数学Ⅰ

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二次関数の頂点の求め方の公式

$y=ax^2+bx+c$ の頂点は

$\begin{eqnarray<em>} (-\dfrac{b}{2a},~-\dfrac{b^2-4ac }{4a }) \end{eqnarray</em>}$

二次関数の頂点の求め方の解説/ポイント

二次関数の式を次のように平方完成します。

$\begin{eqnarray<em>} y &=& ax^2+bx+c \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} &=& a(x^2+x \dfrac{b}{a})+c \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} &=& a{x^2+2x \dfrac{b}{2a}+( \dfrac{b}{2a})^2 }-a(\dfrac{b}{2a})^2+c \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} &=& a{x^2+2x \dfrac{b}{2a}+( \dfrac{b}{2a})^2 }-\dfrac{b^2}{4a}+c\end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} &=& a(x+\dfrac{b}{2a})^2-\dfrac{b^2-4ac }{4a } ~(=T~とおく) \end{eqnarray</em>}$

ここでたとえば, a>0 とすると,

y=ax^2+bx+c のグラフ

このT は $a(x+\dfrac{b}{2a})^2=0$ のとき, つまり $x=-\dfrac{b}{2a}$ で最小値をとります。
このとき, Tの最小値は

$-\dfrac{b^2-4ac }{4a }$

となります。このことから, $y=ax^2+bx+c$ のグラフの頂点が

$(-\dfrac{b}{2a},~-\dfrac{b^2-4ac }{4a })$

となることがわかります。
同様にしてa<0のときも, グラフの頂点が

$(-\dfrac{b}{2a},~-\dfrac{b^2-4ac }{4a })$

となることがわかります。
覚えるときに符号を間違えないように注意してください。

二次関数の頂点の求め方の例題

問題

グラフ $y=x^2+4x+7$ の頂点を求めなさい。

解答

まず与えられた式を平方完成すると,

$\begin{eqnarray<em>} y &=& x^2+4x+7 \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}&=& (x^2+4x)+7 \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}&=& {x^2+4x+2^2 }-2^2+7 \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}&=& (x+2)^2-2^2+7 \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}&=& (x+2)^2+3 \end{eqnarray</em>}$

となるので頂点は(-2, 3) となります。

参考

「数学Ⅰ　大島　利雄著　数研出版」

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