二次関数のグラフの概形からa,b,c,の符号を決定するポイント

2016/3/4 2016/3/5 二次関数, 数学, 数学Ⅰ, 関数とグラフ

スポンサーリンク

二次関数のグラフの概形からa,b,c,の符号を決定するポイント

与えられた二次関数のグラフの概形から、文字定数の符号を求める問題です。
$y=ax^2+bx+c$ の $a$ 、 $b$ 、 $c$ のほか、 $b^2-4ac$ について問われる場合もあります。
グラフの向きと軸の位置、y切片の値に注目します。

グラフの概形か符号を決定する問題

$y=ax^2+bx+c$ のグラフが以下のようになるとき、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $b^2-4ac$ の符号が
どのようになるかを答えなさい。

y=ax^2+bx+cのグラフの概形

グラフの概形か符号を決定する解法の手順

グラフの向きから $a$ の符号が求められます。
軸の位置から $\dfrac{-b}{2a}$ の符号が求められるので、これと $a$ の符号から $b$ の符号を求めます。
y切片の位置から $c$ の符号が求められます。
グラフとx軸との交点の個数から $b^2-4ac$ の符号が求められます。

解説

まず、グラフの向きは上に凸なので、 $a<0$ であることがわかります。
次に、軸の位置は負の範囲にあるので、

$y=ax^2+bx+c$

$=a\left(x+\dfrac{b}{2a} \right) ^2-\dfrac{(b^2-4ac)}{4a}$

より
$y=ax^2+bx+c$ のグラフの軸は $x=-\dfrac{b}{2a}$ であることから

$-\dfrac{b}{2a}<0$

となります。 $-\dfrac{b}{2a}<0$ より $\dfrac{b}{2a}>0$ となります。グラフの向きから $a<0$ であることが求められているので $b<0$ となります。
また、y切片(y軸との交点)が負の部分にあることから、 $x=0$ のとき $y<0$ より $c<0$ 、
グラフとx軸との交点が2つあるので(判別式)>0より

$b^2-4ac>0$

となります。以上より

$a<0,b<0,c<0,b^2-4ac>0$

参考

チャート式　数研出版

関連記事

スポンサーリンク