二次不等式（絶対値記号を含む場合）の解法ポイント：式と証明

2016/3/2 2016/3/5 2次関数と方程式・不等式, 二次関数, 式と証明, 数学, 数学Ⅰ, 数学Ⅱ, 等式と不等式の証明

絶対値記号を含む二次不等式を解く問題です。
場合分けをして絶対値記号を外し、二次不等式を解きます。
絶対値記号を外した二次不等式の解と、場合分けの際に定めた範囲の共通部分が求める解となります。

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二次不等式を解く問題

不等式 $x^2+|x-1| \geqq 1$ を解きなさい。

絶対値記号を含む場合の解法の手順

絶対値記号の中の式の正負によって場合分けをします。
場合分けした不等式を、それぞれ解きます。
不等式の解のうち、場合分けの際の条件に合うものが元の不等式の解となります。

二次不等式を解く問題の解説

まずは場合分けをして絶対値記号を外します。
$a \geqq 0$ のとき $|a|=a$ 、 $a<0$ のとき $|a|=-a$ となるので、 $x-1 \geqq 0$ すなわち $x \geqq 1$ のとき $|x-1|=x-1$ となり、
$x-1<0$ すなわち $x<1$ のとき

$|x-1|=-(x-1)=-x+1$

となります。

よって、不等式 $x^2+|x-1| \geqq 1$ は

(1) $x \geqq 1$ のとき

$x^2+x-1 \geqq 1$

(2) $x<$ 1のとき

$x^2-x+1 \geqq 1$

となります。絶対値記号を外すことができたので、それぞれの二次不等式を解きます。

(1)のとき、 $x^2+x-1 \geqq 1$ より

$x^2+x-2 \geqq 0$

$(x+2)(x-1) \geqq 0$

$x \leqq -2,1 \leqq x$

となります。ここで、この解を場合分けの際の条件と照らし合わせると、
(1)は $x \geqq 1$ の場合なので、 $x \leqq -2$ は解に含まれず、 $1 \leqq x$ が(1)の範囲での解となります。

(2)のとき、 $x^2-x+1 \geqq 1$ より

$x^2-x \geqq 0$

$x(x-1) \geqq 0$

$x \leqq 0,1 \leqq x$

となります。
(2)は $x<1$ の場合なので、 $x \leqq 0$ が(2)の範囲での解となります。

以上より、元の不等式の解は

$x \leqq 0,1 \leqq x$

参考

チャート式　数研出版

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