変数を含むベクトルの大きさの最大値・最小値問題のポイント：平面上ベクトル

2016/3/2 2016/3/5 平面上のベクトル, 数学, 数学B

$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} |$ の形で表される、変数 $t$ を含むベクトルの大きさの最大値や最小値を求める問題です。
$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} |^2$ の値の変化を二次関数の最大・最小の考え方を利用して求め、その平方根をとります。

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ベクトルの大きさの最大値・最小値問題の問題

$|\overrightarrow{a} |=2,|\overrightarrow{b} |=3$ , $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=~\sqrt[]{\mathstrut 19}$ のとき、 $|\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b} |$ の最小値と、最小値をとるときのtの値を求めなさい。

ベクトルの大きさの最大値・最小値問題の解法の手順

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=~\sqrt[]{\mathstrut 19}$ の両辺を2乗して、内積 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ を求めます。
$|\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b} |^2$ を展開します。
2で展開した式に1で求めた内積を代入して、 $t$ の二次関数を導きます。
平方完成をして、 $t$ の二次関数の最小値を求めます。
4で得られた最小値の平方根が、求めるベクトルの大きさの最小値となります。

ベクトルの大きさの最大値・最小値問題の解説

まずは与えられた条件式から、 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ を求めます。

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=~\sqrt[]{\mathstrut 19}$ の両辺を2乗すると、

$|\overrightarrow{a} |^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b} |^2=19$

が得られます。これに $|\overrightarrow{a} |=2,|\overrightarrow{b} |=3$ を代入して、

$4+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+9=19$

整理して

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3$

と求められます。

$|\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b} |$ に関しても、同様に2乗して内積を用いて表すと、

$|\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b} |^2$

$=|\overrightarrow{a} |^2-2t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+t^2 |\overrightarrow{b} |^2$

となります。

これに $|\overrightarrow{a} |=2$ , $|\overrightarrow{b} |=3$ と先に求めた $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3$ を代入すると

$4-2t\cdot 3+t^2\cdot 9$

$=9t^2-6t+4$

となり、 $t$ の二次関数が得られます。

この二次関数を平方完成すると

$9t^2-6t+4$

$=9\left(t-\dfrac{1}{3} \right)^2+3$

となるので、

$9t^2-6t+4$ は $t=\dfrac{1}{3}$ のとき最小値3をとります。

$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} |^2=9t^2-6t+4$ の最小値が $3$ なので、 $|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} |>0$ より $|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} |$ の最小値は

$~\sqrt[]{\mathstrut 3}$

このとき $t=\dfrac{1}{3}$ と求められます。

参考

チャート式　数研出版

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