3次の三角関数の最大値・最小値を求める問題のポイント

2016/3/4 2016/3/13 三角関数, 数学, 数学Ⅱ, 数学Ⅲ

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3次の三角関数の最大値・最小値を求める問題のポイント

$sin,cos,tan$ が含まれる、3次以上の関数の最大値や最小値を求める問題です。
三角関数を他の文字に置き換えて微分します。
$sin$ と $cos$ の和・差が含まれる場合、和・差をそのまま他の文字に置き換えます。
$sin$ と $cos$ の積は、相互関係を利用して和・差に変形します。

3次の三角関数の最大値・最小値を求める問題

$y=sin^3x-cos^3x (0 \leqq x \leqq 2\pi )$ の最大値と最小値を求めなさい。

3次の三角関数の最大値・最小値を求める解法の手順

$sinx-cosx=t$ と置きます。
相互関係を利用して、 $sinx, cosx$ を $t$ を用いて表します。
1、2から $y=sin^3x-cos^3x$ を $t$ を用いて表します。
合成を利用して、 $t$ の値の範囲を求めます。
微分を利用して、3で求めた範囲での増減を調べます。
極値と定義域の両端での値を比較し、最大値と最小値を求めます。

3次の三角関数の最大値・最小値を求める問題の解説

三角関数を含む関数の場合、三角関数を他の文字に置き換えることで微分が簡単になります。
sinとcosの和・差が含まれる場合、合成によってsinだけで表すことができるので
和・差をそのままで文字に置き換えます。
まず、 $sinx-cosx=t$ と置きます。与えられた関数は

$y=sin^3x-cos^3x$

$=(sinx-cosx )^3+3 sin^2 x cos x-3 sin x cos^2 x$

$=(sin x-cos x )^3+3 sin x cos x (sin x-cos x )$

となるので、 $sin x, cos x$ を $sin x-cos x=t$ を用いて表すことができれば、
$y=sin^3 x-cos^3 x$ を $t$ を用いて表すことができます。
$sin x-cos x=t$ の両辺を2乗すると

$(sin x-cos x )^2=t^2$

となり、相互関係より $1-2 sin x cos x=t^2$ なので

$sin x cos x=-\dfrac{1}{2}t^2+\dfrac{1}{2}$

と表せます。よって、

$y=sin^3 x-cos^3 x$

$=(sin x-cos x )^3+3 sin x cos x (sin x-cos x )$

$=t^3+3\left(-\dfrac{1}{2} t^2+\dfrac{1}{2} \right) t$

$=-\dfrac{1}{2} t^3+\dfrac{3}{2} t$

と表せます。ここで、変数が $x$ から $t$ に置き換わったので $t$ の値の範囲を求めます。
三角関数の合成を利用すると、

$t=sin x-cos x$

$=~\sqrt[]{\mathstrut 2} \left( \dfrac{1}{~\sqrt[]{\mathstrut 2} } sin x-\dfrac{1}{~\sqrt[]{\mathstrut 2}} cos x \right)$

$=~\sqrt[]{\mathstrut 2} sin \left(x-\dfrac{\pi}{4} \right)$

となるので、 $0 \leqq x \leqq 2\pi$ より

$-\dfrac{\pi}{4} \leqq x-\dfrac{\pi}{4} \leqq \dfrac{7}{4} \pi$

$-~\sqrt[]{\mathstrut 2} \leqq ~\sqrt[]{\mathstrut 2} sin \left(x-\dfrac{\pi}{4} \right) \leqq ~\sqrt[]{\mathstrut 2}$

よって、

$-~\sqrt[]{\mathstrut 2} \leqq t \leqq ~\sqrt[]{\mathstrut 2}$

となります。 $t$ の値の範囲が求められたので、この範囲での関数の増減から、最大値と最小値を求めます。

$y=-\dfrac{1}{2}t^3+\dfrac{3}{2} t$

より

$y'=-\dfrac{3}{2} t^2+\dfrac{3}{2}$

$y'=-\dfrac{3}{2} (t+1)(t-1)$

となるので、 $t$ の値に対する $y$ の増減は以下のようになります。

増減表

$t=-~\sqrt[]{\mathstrut 2}$ のとき

$y=~\sqrt[]{\mathstrut 2}-\dfrac{3}{2} ~\sqrt[]{\mathstrut 2}=-\dfrac{~\sqrt[]{\mathstrut 2}}{2}$

$t=-1$ のとき

$y=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}=-1$

$t=1$ のとき

$y=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=2$

$t=~\sqrt[]{\mathstrut 2}$ のとき

$y=-~\sqrt[]{\mathstrut 2}+\dfrac{3}{2} ~\sqrt[]{\mathstrut 2}=\dfrac{~\sqrt[]{\mathstrut 2}}{2}$

となるので、最大値2、最小値－1と求められます。

参考

チャート式　数研出版

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