等差数列と等比数列の積の和の問題の解法ポイント：数列

2016/3/2 2016/3/5 数列, 数学, 数学B

一般項が $(nの1次式)\times (実数のn乗)$ で表される、等差数列と等比数列の積の数列の和を求める問題です。
数列の和 $S$ に、等比の部分の公比 $r$ をかけた数列の和 $rS$ を求めます。
$S-rS$ を、項を1つずつずらした形で求めます。
$S-rS=(1-r)S$ は等比数列になるので、等比数列の和の公式を用いて和が求められます。

スポンサーリンク

等差数列と等比数列の積の和の問題

$1\cdot 3+3\cdot 3^2+5\cdot 3^3+\dots +(2n-1) \cdot 3^n$ の一般項を求めなさい。

Snと置き一般項を導く解法の手順

与えられた和をSと置きます。
$3S$ を求めます。
$S-3S$ を、項を1つずつずらして求めます。
等比数列の和の公式から、 $S-3S=-2S$ を求めます。
$-2S$ の値から、 $S$ を求めます。

等差数列と等比数列の積の和の問題の解説

$S=1\cdot 3+3\cdot 3^2+5\cdot 3^3+\dots +(2n-1) \cdot 3^n$

と置きます。
この式は、等差数列 $a_n=2n-1$ と等比数列 $a_n=3^n$ の積で表される数列の
第 $n$ 項までの和であると考えられます。
等比数列の和の公式と同様に、等比の部分の公比である $3$ をかけた $3S$ を求めると、

$3S=1\cdot 3^2+3\cdot 3^3+5\cdot 3^4+\dots + (2n-1) \cdot 3^{n+1}$

となります。
この式をSから項を1つずつずらして引くことで、等差の部分が消去できます。

和の様子

得られた

$-2S=1\cdot 3+2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+\dots +2\cdot 3^n-(2n-1) \cdot 3^{n+1}$

について、
$2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+\dots +2\cdot 3^n$ の部分は初項 $2\cdot 3^2=18$ 、公比3、
$2\cdot 3^n=18\cdot 3^{n-2}$ より項数 $n－1$ の等比数列の和となるので、

$2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+\dots +2\cdot 3^n$

$=\dfrac{18(3^{n-1}-1)}{3-1}=9(3^{n-1}-1)$

$=3^{n+1}-9$

となります。
よって、

$-2S=1\cdot 3+2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+\dots +2\cdot 3^n-(2n-1) \cdot 3^{n+1}$

$=3+3^{n+1}-9-(2n-1)\cdot 3^{n+1}$

$={1-(2n-1)} 3^{n+1}-6$

$=(2-2n)3^{n+1}-6$

となります。よって、

$-2S=(2-2n)3^{n+1}-6$ の両辺を $－2$ で割ることで、

$S=(n-1)3^{n+1}+2$

が得られます。

参考

チャート式　数研出版

関連記事

スポンサーリンク