分数の数列の和を求める問題の解法ポイント

一般項 $a_n$ が分母に $n$ を含む分数の形で表される数列の和を求める問題です。
出題形式には $\displaystyle \sum$ を用いて一般項が表される形と、初項からいくつかの項が書き表される形があります。
部分分数分解を用いて $\dfrac{1}{n(n+a)}=\dfrac{1}{a}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+a} \right)$ と変形し、数が同じで符号が異なるものを消していきます。

分数の数列の和を求める問題

$\dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{2\cdot 4}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\dots+\dfrac{1}{n(n+2)}$

を求めなさい。

分数の数列の和を求める解法の手順

部分分数分解を用いて、分数を2つに分けて表します。
項を実際に書き並べます。
数が同じで符号が異なるもの同士を足すことで消し、残ったものを足します。

分数の数列の和を求める問題の解説

分母が2つの数の積として表されているので、
部分分数分解を用いて分母が1つの数だけで表される形に変形します。

$\dfrac{1}{n(n+a)}= \dfrac{1}{a} \left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+a} \right)$

より

$\dfrac{1}{n(n+2)}= \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2} \right)$

となるので、

$\dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{2\cdot 4}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\dfrac{1}{4\cdot 6} \dots +\dfrac{1}{n(n+2)}$

$=\dfrac{1}{2} \Biggl(\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3} \right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4} \right) +\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right) +\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}\right) +\dots +\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right)\Biggr)$

と変形できます。

この中で、初項を分解してできた $-\dfrac{1}{3}$ と第3項を分解してできた $\dfrac{1}{3}$ のように、
数が同じで符号が異なるものを消すことで、和が求められます。
初めのうちは多めに項を書くようにすると、消える部分と残る部分が考えやすくなります。

$\dfrac{1}{2} \Biggl(\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3} \right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4} \right) +\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right) +\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}\right) +\dots +\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right) \Biggr)$

$=\dfrac{1}{2} \Biggl(\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3} \right)+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4} \right) +\dots +\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n}\right) -\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2} \Biggr)$

$=\dfrac{1}{2} \left (\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2} \right )$

$=\dfrac{1}{2} \Biggl(\dfrac{2(n+1)(n+2)}{2(n+1)(n+2)}+\dfrac{(n+1)(n+2)}{2(n+1)(n+2)}-\dfrac{2(n+2)}{ 2(n+1)(n+2)}-\dfrac{2(n+1)}{ 2(n+1)(n+2)} \Biggr)$