隣接三項間漸化式の一般項を求める問題のポイント：数列

2016/3/2 2016/3/6 数列, 数学, 数学B

$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$ と表される、隣接する3項に関する漸化式から一般項を求める問題です。
特性方程式を用いて、隣接2項間の漸化式を2つ導きます。
2つの漸化式を連立方程式として解くことで、一般項が求められます。

スポンサーリンク

隣接三項間漸化式の一般項を求める問題

$a_1=1$ , $a_2=3$ , $a_{n+2}=6a_{n+1}-8a_n$ を満たす数列 ${a_n }$ の一般項を求めなさい。

隣接三項間漸化式の一般項を求める解法の手順

特性方程式を解きます。
特性方程式の解を利用して、漸化式を2通りに変形します。
2通りの漸化式から、隣接2項間の漸化式を導きます。
隣接2項間の漸化式を連立方程式として解いて、一般項を求めます。

隣接三項間漸化式の一般項を求める問題の解説

隣接3項間の漸化式 $a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$ について、 $x^2=px+q$ を特性方程式と言います。
特性方程式の解 $\alpha , \beta$ を用いて隣接3項間の漸化式を

$a_{n+2}- \alpha a_{n+1}= \beta (a_{n+1}- \alpha a_n )$

$a_{n+2}- \beta a_{n+1}= \alpha (a_{n+1}- \beta a_n )$

の2通りに変形することができます。

$a_{n+2}=6a_{n+1}+8a_n$ の特性方程式は

$x^2=6x-8$

であり、これを解くと

$x^2-6x+8=0$

$(x-2)(x-4)=0$

より

$x=2,4$

となります。よって、与えられた漸化式は

$a_{n+2}-2a_{n+1}=4(a_{n+1}-2a_n )$

$a_{n+2}-4a_{n+1}=2(a_{n+1}-4a_n )$

の2通りに変形できます。

次に、この2通りから隣接2項間の漸化式を導きます。
$b_n=a_{n+1}-2a_n$ と置くと、 $b_1=a_2-2a_1=3-2=1$ であり、
$a_{n+2}-2a_{n+1}=4(a_{n+1}-2a_n )$ より

$b_{n+1}=4b_n$

となるので、数列 ${b_n }$ は初項1、公比4の等比数列となります。
よって、

$b_n=4^{n-1}$

と表せます。

この式に $b_n=a_{n+1}-2a_n$ を代入すると

$a_{n+1}-2a_n=4^{n-1}$

となり、隣接2項間の漸化式が得られます。

同様に、 $c_n=a_{n+1}-4a_n$ と置くと $c_1=a_2-4a_1=3-4=-1$ であり、
$a_{n+2}-4a_{n+1}=2(a_{n+1}-4a_n )$ より

$c_{n+1}=2b_n$

となるので、数列 ${c_n }$ は初項 $-1$ 、公比2の等比数列となります。
よって、

$c_n=-2^{n-1}$

と表せます。

この式に $c_n=a_{n+1}-4a_n$ を代入して、

$a_{n+1}-4a_n=-2^{n-1}$

が得られます。
以上より隣接2項間の漸化式が2つ得られたので、これらを連立方程式とみて解きます。

$a_{n+1}-2a_n=4^{n-1}$ から $a_{n+1}-4a_n=-2^{n-1}$ を引くと

$2a_n=4^{n-1}-(-2^{n-1} )=4^{n-1}+2^{n-1}$

となるので、

$a_n=\dfrac{4^{n-1}+2^{n-1}}{2}$

と求められます。

参考

数研出版　チャート式

関連記事

スポンサーリンク