等差数列と等比数列の積の和の問題の解法ポイント:数列

  • 一般項が(nの1次式)\times (実数のn乗)で表される、等差数列と等比数列の積の数列の和を求める問題です。
  • 数列の和Sに、等比の部分の公比rをかけた数列の和rSを求めます。
  • S-rSを、項を1つずつずらした形で求めます。
  • S-rS=(1-r)Sは等比数列になるので、等比数列の和の公式を用いて和が求められます。

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等差数列と等比数列の積の和の問題

1\cdot 3+3\cdot 3^2+5\cdot 3^3+\dots +(2n-1) \cdot 3^nの一般項を求めなさい。

Snと置き一般項を導く解法の手順

  1. 与えられた和をSと置きます。
  2. 3Sを求めます。
  3. S-3Sを、項を1つずつずらして求めます。
  4. 等比数列の和の公式から、S-3S=-2Sを求めます。
  5. -2Sの値から、Sを求めます。

等差数列と等比数列の積の和の問題の解説

\[S=1\cdot 3+3\cdot 3^2+5\cdot 3^3+\dots +(2n-1) \cdot 3^n\]

と置きます。
この式は、等差数列a_n=2n-1と等比数列a_n=3^nの積で表される数列の
n項までの和であると考えられます。
等比数列の和の公式と同様に、等比の部分の公比である3をかけた3Sを求めると、

\[3S=1\cdot 3^2+3\cdot 3^3+5\cdot 3^4+\dots + (2n-1) \cdot 3^{n+1}\]

となります。
この式をSから項を1つずつずらして引くことで、等差の部分が消去できます。

和の様子

等差数列と等比数列の積からなる数列の和を求める際のポイント

得られた

\[-2S=1\cdot 3+2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+\dots +2\cdot 3^n-(2n-1) \cdot 3^{n+1}\]

について、
2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+\dots +2\cdot 3^nの部分は初項2\cdot 3^2=18、公比3、
2\cdot 3^n=18\cdot 3^{n-2}より項数n-1の等比数列の和となるので、

\[2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+\dots +2\cdot 3^n\]

\[=\dfrac{18(3^{n-1}-1)}{3-1}=9(3^{n-1}-1)\]

\[=3^{n+1}-9\]

となります。
よって、

\[-2S=1\cdot 3+2\cdot 3^2+2\cdot 3^3+\dots +2\cdot 3^n-(2n-1) \cdot 3^{n+1}\]

\[=3+3^{n+1}-9-(2n-1)\cdot 3^{n+1}\]

\[={1-(2n-1)} 3^{n+1}-6\]

\[=(2-2n)3^{n+1}-6\]

となります。よって、

-2S=(2-2n)3^{n+1}-6の両辺を-2で割ることで、

\[S=(n-1)3^{n+1}+2\]

が得られます。

参考

チャート式 数研出版

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