群数列の和を求める問題の解法ポイント：数列

2016/3/1 2016/3/4 数列, 数学B

群数列のある項までの和を求める問題です。
群として分けられていない場合は、仕切りを入れて群をつくります。
末項が何番目の群の第何項にあたるかを求め、各群の和から全体の和を求めます。

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群数列の和を求める問題

次の数列の、第25項までの和を求めなさい。

$1,1,2,1,2,4,1,2,4,8, \dots$

群数列の和の解法の手順

数列を群に分けます。
第25項が、何番目の群の第何項にあたるかを求めます。
それぞれの群の和を求めます。
各群の和を合計します。

群数列の和を求める問題の解説

与えられた数列は群に分けられてはいませんが、同じ数の繰り返しが含まれているので群に分けて考えます。
1が現れる項ごとに仕切りを入れ、仕切りの中にある群をそれぞれ第1群、第2群、…とすると、

$|1|1,2|1,2,4|1,2,4,8|\dots$

となり、第n群は初項1、公比2、項数nの等比数列となります。
次に、第25項が含まれる群を求めます。
第n群にn個の項が含まれることから、第n群までの項の総数は

$1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

となり、同様に第 $(n－1)$ 群までの項の総数は $\dfrac{(n-1)n}{2}$ となります。
よって、第25項が第n群に含まれるとき、
(第(n－1)群までの項の総数) $<25 \leqq$ (第n群までの項の総数)となるので、

$\dfrac{(n-1)n}{2}<25\leqq \dfrac{n(n+1)}{2}$

が成り立ちます。
$n=7$ のとき第 $(n－1)$ 群、すなわち第 $6$ 群までの項の総数は $\dfrac{(7-1)7}{2}=21$ 第 $n$ 群、すなわち第 $7$ 群までの項の総数は $\dfrac{7(7+1)}{2}=28$ となり、上の不等式を満たすことから
第25項は第7群に含まれることがわかります。
また、第21項が第6群の最後の項なので、第25項は第7群の第4項となります。
第25項が含まれる群が求められたので、次に各群の項の和を求めます。
第n群は初項1、公比2、項数nの等比数列なので、
第n群の項の和は

$\dfrac{(2^n-1)}{(2-1)}=2^n-1$

と表せます。第25項は第7群の途中の項なので、
先にすべての項が求める和に含まれる第1群から第6群までの和を求めると、

$\sum_{k=1}^6(2^k-1)$

$=\sum_{k=1}^6 2^k -\sum_{k=1}^6 1$

$=\dfrac{2(2^6-1)}{(2-1)}-6$

$=126-6$

$=120$

となります。
残った第22項から第25項までの和は、第25項が第7群の4番目なので

$2^4-1=15$

となります。以上より、第25項までの和は

$120+15=135$

と求められます。

参考

チャート式　数研出版

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