円と直線の共有点の個数と座標を求める際のポイント：図形と方程式

共有点の個数と座標を求める問題

円 $x^2+y^2=2$ と直線 $2x-y+1=0$ の共有点の個数と、その座標を求めなさい。

交点の座標を求めるには、2つの式を連立方程式として解きます。
直線の式 $2x-y+1=0$ をyについて解くと

$y=2x+1$

となるので、これを $x^2+y^2=2$ に代入すると、

$x^2+(2x+1)^2=2$

整理して

$5x^2+4x-1=0$

が得られます。この二次方程式の解が共有点のx座標となります。 $5x^2+4x-1=0$ を解くと、

$(5x-1)(x+1)=0$

$x=-1,\dfrac{1}{5}$

実数解が2つ得られるので、共有点の個数は2個となります。

最後に、求められたxの値を $y=2x+1$ に代入すると、
$x=-1$ のとき

$y=2∙(-1)+1=-1$

$x=\dfrac{1}{5}$ のとき

$y=2\cdot \dfrac{1}{5}+1=\dfrac{7}{5}$

となるので、

共有点の座標は

$(-1,-1),( \dfrac{1}{5},\dfrac{7}{5})$

となります。

数学2教科書　数研出版