指数方程式の解法ポイント：指数関数

2016/3/4 2016/3/5 指数関数と対数関数, 数学, 数学Ⅱ

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指数方程式の解法ポイント

変数 $x$ が累乗の指数の部分に含まれる、指数方程式を解く問題です。
指数の底を揃え、 $a^x=t$ と置き換えることで、通常の方程式と同じように解くことができます。
(自然数のx乗)>0なので、解の範囲が限られることに注意します。

指数方程式の問題

指数方程式 $4^x-2^{(x+1)}-3=0$ を解きなさい。

指数方程式の解法の手順

指数の底を揃えます。
$2^x=t$ と置いて、式を $t$ の2次方程式に書き換えます。
2次方程式を解いて $t$ の値を求めます。
得られた $t$ の値について $2^x=t$ が成り立つかを確かめ、 $x$ の値を求めます。

指数方程式の解説

3つ以上の項を含む指数方程式を解く際には、 $a^x=t$ と置き換えることで計算が簡単になります。
置き換えの準備段階として、まずは指数の底を揃えます。
$4^x=(2^2 )^x=2^{2x}$ なので、

$4^x-2^{(x+1)}-3=0$

を次のように変形できます。

$2^{2x}-2^{(x+1)}-3=0$

また、 $2^{(x+1)}$ のままでは置き換えにくいので、
$2^{(x+1)}=2\cdot 2^x$ より $2^{2x}-2^{(x+1)}-3=0$ を

$2^{2x}-2\cdot 2^x-3=0$

と変形し、
$2^x=t$ として式全体を書き換えます。
$2^x=t$ より $2^{2x}=(2^x )^2=t^2$ なので、 $2^{2x}-2\cdot 2^x-3=0$ は

$t^2-2t-3=0$

と書き換えられます。
このtの2次方程式を解くと、

$(t+1)(t-3)=0$

より $t=-1,3$ が得られます。
ここで、得られたtの値について $2^x=t$ を満たす $x$ が存在するかを確かめると、
$t=2^x>0$ なので、 $t=-1$ は $2^x=t$ を満たす $x$ が存在せず、解として不適となります。
よって、解は $t=3$ のみとなります。
最後に $2^x=t=3$ から $x$ の値を求めると、対数の定義 $a^r=R \Leftrightarrow r=log_aR$ より

$x=log_2 3$

となります。

参考

チャート式　数研出版

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