隣接二項間漸化式の一般項を求める問題のポイント：数列

2016/3/2 2016/3/4 数列, 数学, 数学B

$a_{n+1}=pa_n+q$ の形で表される、隣接2項間の漸化式から数列の一般項を求める問題です。
$a_{n+1}- \alpha =p(a_n- \alpha )$ を満たす $\alpha$ を求め、式を変形します。
数列 ${a_n- \alpha }$ は等比数列になるので、等比数列の公式から一般項が求められます。

スポンサーリンク

隣接二項間漸化式の一般項を求める問題

$a_1=2,a_{n+1}=2a_n-1$ $(n=1,2,3,\dots )$ で定められる数列 ${a_n}$ の一般項を求めなさい。

隣接二項間漸化式の一般項を求める解法の手順

$a_{n+1}- \alpha =p(a_n- \alpha )$ を満たす $\alpha$ を求め、式を変形します。
数列 ${a_n- \alpha }$ の初項となる、 $a_1- \alpha$ の値を求めます。
数列 ${a_n- \alpha }$ の一般項を、 $n$ を用いた式で表します。
$\alpha$ を移行することで、 ${a_n}$ の一般項が表せます。

隣接二項間漸化式の一般項を求める問題の解説

$a_n$ の係数が2なので、与えられた漸化式は

$a_{n+1}- \alpha =2(a_n- \alpha )$

と変形できることになります。

展開して整理すると、

$a_{n+1}- \alpha=2a_n-2 \alpha$

$a_{n+1}=2a_n- \alpha$

この式は元の漸化式 $a_{n+1}=2a_n-1$ と等しいので、 $\alpha =1$ よって、

$a_{n+1}-1=2(a_n-1)$

となります。

この漸化式から、数列 ${a_n-1}$ は公比が2の等比数列であり、初項は
$a_1-1=2-1=1$ なので、

$a_n-1=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$

左辺の $-1$ を移行して、

$a_n=1+2^{n-1}$

となります。

参考

数研出版　チャート式
2014年度京都大学入試問題

関連記事

スポンサーリンク